AULA CURSINHO INSTITUTO – DIA 22/JUNHO/2013

AULA CURSINHO INSTITUTO – DIA 22/Junho/2013.

Prof. Msc. Allan Gomes dos Santos

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1. (UEG 2012)  Em uma sala de cinema com 100 lugares, o valor do ingresso inteira custa R$ 20,00, enquanto o valor da meia-entrada custa 50% da inteira. Em uma seção, em que foram vendidos 80 meias e 20 inteiras, o faturamento foi de R$ 1.200,00. Se o proprietário da sala der um desconto de 20% no valor da entrada, qual deve ser o número de pagantes com meia- entrada para que o proprietário tenha a sala cheia e o mesmo faturamento da seção anterior?                      

a) 80                   

b) 50                    

c) 40                    

d) 20   

Resolução: Devemos primeiro achar os valores dos ingressos com o desconto de 20%, ou seja, desconto de 20% é igual ao numero matemático 0,8

20 . 0,8 = 16 (ingresso inteiro)

10 . 0,8 = 8 (ingresso de meia-entrada)

Agora devemos dar nomes a eles, sabendo que o total é 100 lugares. Portanto, x será o número de pagantes com meia entrada. Logo, 100 – x é o número de pagantes com entrada inteira. Assim, podemos formar a seguinte equação com o faturamento de 1.200,00 e os valores com o devido desconto de 20%:

8x + (100 - x). 16 = 1200

-8x = - 400

x = 50

2. (UESPI 2012)  Em uma festa, cada homem dançou com exatamente h mulheres, e cada mulher dançou com exatamente m  homens. Se o total de pessoas (homens e mulheres) presentes na festa era n, quantos eram os homens?      

a) mn/(h + m)               

b) mn/(2h + m)                    

c) mn/(h + 2m)             

d) 2mn/(h + m)              

e) mn/(2h + 2m)   

Resolução: Podemos chamar o numero de homens de “a” e o numero de mulheres de “b”. Como o numero total dado é “n”, podemos imaginar que a = n – b ou b = n – a. Agora, podemos formular nossa equação problema do jeito que ele diz no problema:

a.h =(n – a).m

nº de pares dançando logo a = mn/(h + m)

3. (IFPE-2012)  Lúcia pediu a seu pai, o Sr. Paulo, para montar um aquário em seu quarto. Os dois foram a uma loja especializada e compraram os equipamentos necessários. As dimensões do aquário eram: 1,2 metros de largura, 0,6 metros de comprimento e 0,65 metros de altura. Depois que o aquário estava com água, o Sr. Paulo percebeu que tinha se esquecido de colocar um castelo de pedra para enfeite. Com cuidado, ele colocou o castelo dentro do aquário e percebeu que o nível da água subiu 15 cm. Lembrando-se de suas aulas de matemática, ele resolveu calcular o volume do castelo. Depois de efetuados os cálculos, ele percebeu que o volume do castelo era, em dm³:

a) 1,08   

b) 10,8   

c) 108   

d) 1.080   

e) 10.800   

Resolução: Acredito que nesta questão devemos calcular o volume do aquário sem o castelo dentro. O aquário é um paralelepípedo e seu volume é calculado pela multiplicação das três medidas, comprimento x largura x altura, ou  seja, área da base (retângulo) x a altura. Portanto, teremos o volume do aquário de 1,2x0,6x0,65 = 0,468m³. Com a colocação do castelo no aquário, podemos ter em mente que somente a altura da agua é que vai variar, mantendo a do comprimento e da largura, ou seja, da base. Então, o volume com o castelo será 1,2x0,6x0,8 = 0,576m³. Observamos que somamos 0,65m + 15cm. Claro que antes transformando 15cm em metro teremos 0,15m. Então, ficou 0,65m + 0,15m = 0,80m ou apenas 0,8m. Diminuindo os volumes teremos o volume do castelo, então: 0,576 – 0,468 = 0,108m³. Transformando m³ em dm³ e andar a vírgula 3 casas para frente devido ser uma transformação de medida de volume e se anda de três em três, ficando 108dm³.

4. (UEG-2012) Em uma festa, um garçom, para servir refrigerante, utilizou uma jarra no formato de um cilindro circular reto. Durante o seu trabalho, percebeu que com a jarra completamente cheia conseguia encher oito copos de 300ml cada. Considerando-se que a altura da jarra é de 30cm, então a área interna da base dessa jarra, em cm, é:

a) 10   

b) 30   

c) 60   

d) 80   

Resolução: Pelo que o problema é dado, temos a jarra é cheia com 8 copos de 300ml que é igual 2400ml = 2,4 litros. Então, podemos achar que o volume da jarra é dado por 1litro em dm³. Assim, 2,4l = 2400dm³. O volume de um cilindro é área da base x altura = 2400. Sendo a altura dada de 30cm, então a equação ficará: área da base x 30 = 2400, implica que área da base = 2400/30 = 80cm.

5. (Questão Enem 2010)

O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006. Quantidades de Gols dos Artilheiros das Copas do Mundo

A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo?

a) 6 gols

b) 6,5 gols

c) 7 gols

d) 7,3 gols

e) 8,5 gols

Resolução: As quantidades apresentadas no gráfico na ordem cronológica formam o conjunto {8,5,7,9,11,13,4,9,10,7,6,6,6,6,6,6,8,5}:

Para o cálculo da mediana é necessário a formação do rol (conjunto ordenado em ordem crescente ou decrescente). Temos: Rol: {4,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,8,8,9,9,10,11,13}.

Como há 18 termos (par), a mediana será a média aritmética dos dois termos centrais:

Portanto: (6 + 7)/2 = 6,5

6. (FGV – SP) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas, tendo encontrado como resultado 1,72 m e 1,70 m, respectivamente. A média entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metros, é igual a:

a) 1,70          

b) 1,71

c) 1,72    

d) 1,73          

e) 1,74

Resolução: Teremos que a média pode ser modelada matemática como: (a+b+c+d)/4 = 1,72. Podemos, também, concluir resolvendo a proporção, que: a+b+c+d = 6,88 (1,72x4=6,88). Outro dado é que a mediana de 4 elementos são a media dos dois centrais, ou seja, (b+c)/2= 1,70. Resolvendo a proporção, também, teremos: b+c = 3,40. Logo, substituindo b+c na equação a+b+c+d = 6,88, teremos que: a+d = 6,88 – 3,40 implica que a+d = 3,48. Portanto, a média seria (a+d)/2, onde devemos dividir o outro lado por 2, ficando 3,48/2 = 1,74.

7. (Concurso) Em uma classe de 40 alunos as notas obtidas em um teste formaram a seguinte distribuição:

Nota	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nº de alunos	4	4	8	1	2	7	7	5	1	1

A nota mediana é:

a) 3    

b) 8       

c) 7     

d) 6    

e) 5

Resolução: Solução. As notas já estão ordenadas (rol). O número de alunos é 40. Logo, a nota mediana será a média aritmética dos valores centrais, ou seja, devemos colocar 19 para um lado e 19 para outro, tirando a média do vigésimo e vigésimo primeiro termo que são: 6 e 6. A média de (6 + 6)/2 = 6.

8. (Questão Enem 2010)

Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

	Mat	Port	Conh. Gerais	Média	Mediana	Desvio Padrão
Marco	14	15	16	15	15	0,32
Paulo	8	19	18	15	18	4,97

O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é

a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.

b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.

c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.

d) Paulo, pois obteve maior mediana.

e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

Resolução: Entendimento básico sobre desvio padrão: O desvio padrão é uma medida de dispersão usada com a média. Mede a variabilidade dos valores à volta da média. O valor mínimo do desvio padrão é 0 indicando que não há variabilidade, ou seja, que todos os valores são iguais à média.

Tendo um entendimento do que seja um desvio padrão, podemos dizer que o candidato com pontuação mais regular é Marco, pois obteve o menor desvio padrão.

9. (Questão Enem 2009)

Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

Mês	Cotação	Ano
Outubro	R$ 83,00	2007
Novembro	R$ 73,10	2007
Dezembro	R$ 81,60	2007
Janeiro	R$ 82,00	2008
Fevereiro	R$ 85,30	2008
Março	R$ 84,00	2008
Abril	R$ 84,60	2008

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a

a) R$ 73,10.

b) R$ 81,50.

c) R$ 82,00.

d) R$ 83,00.

e) R$ 85,30.

Resolução: Colocando em rol, isto é, ordenando os valores em ordem crescente ou decrescente apresentados na tabela, temos:

(73,10; 81,60; 82,00; 83,00; 84,00; 84,60; 85,30)

Como há um número ímpar de dados nesse conjunto, a mediana é o termo central do rol, ou seja, 83,00.

10. (U.E. Londrina – PR) Um automóvel subiu uma ladeira à velocidade média de 60km/h e, em seguida, desceu a mesma ladeira à velocidade média de 100km/h. A velocidade média desse veículo no percurso inteiro foi:

a) 72km/h                  

b) 75km/h                        

c) 78km/h                  

d) 80km/h                

e) 84km/h

Resolução: A velocidade média nesse caso não é a média aritmética das velocidades, e sim a média harmônica. Isto é, o inverso da média aritmética dos inversos das velocidades. Observe com a Física:

Mh = 2/ (1/60 + 1/100) = 2/ 8/300 = 2 .300/8 = 300/4 = 75

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